نسبت Calmar و MAR: چرا در کریپتو از Sharpe پیشی می‌گیرند

هدف یادگیری

پس از مطالعه این درس، قادر خواهید بود:
- فرمول دقیق Calmar Ratio و MAR Ratio را محاسبه کنید.
- تفاوت بنیادی این دو نسبت را با Sharpe Ratio تشریح کنید.
- دلایل کمی (quant) برتری این معیارها در ارزیابی سیستم‌های معاملاتی کریپتو را بیان کنید.
- از این نسبت‌ها در انتخاب استراتژی و بهینه‌سازی پرتفوی استفاده کنید.

---

۱. مشکل بنیادین Sharpe در کریپتو

نسبت Sharpe در دهه ۱۹۶۰ برای بازارهای سهام با توزیع نرمال طراحی شد. فرمول آن:

$$S = \frac{\bar{R}_p - R_f}{\sigma_p}$$

جایی که $\bar{R}_p$ میانگین بازده پرتفوی، $R_f$ نرخ بدون ریسک، و $\sigma_p$ انحراف معیار بازده‌هاست.

مشکل اول: فرض توزیع نرمال. بازارهای کریپتو دارای دم‌های چاق (fat tails) و کشیدگی بالا (excess kurtosis) هستند. بیت‌کوین در بازه‌های کوتاه بارها حرکات ۱۵٪ تا ۳۰٪ روزانه داشته که در توزیع نرمال احتمال وقوعشان نزدیک به صفر است. Sharpe این حوادث دم را به‌درستی قیمت‌گذاری نمی‌کند.

مشکل دوم: تقارن نوسان. Sharpe هر دو طرف انحراف از میانگین را به‌یک اندازه «ریسک» می‌شمارد. یعنی سود ۲۰٪ در یک هفته، به همان اندازه زیان ۲۰٪ به Sharpe آسیب می‌زند. این منطق برای معامله‌گر معنا ندارد؛ نوسان صعودی مطلوب است.

مشکل سوم: بی‌حافظگی نسبت به Drawdown. یک سیستم می‌تواند Sharpe بالایی داشته باشد اما طی یک دوره ۸ ماهه ۷۰٪ سرمایه را از دست بدهد. Sharpe این واقعیت را پنهان می‌کند.

---

۲. Calmar Ratio: تعریف، فرمول و مکانیزم

Calmar Ratio در سال ۱۹۹۱ توسط Terry Young معرفی شد. نام آن از California Managed Accounts Reports گرفته شده است.

فرمول

$$\text{Calmar} = \frac{\text{CAGR}_{3y}}{|\text{MDD}_{3y}|}$$

- CAGR₃y: نرخ رشد سالانه مرکب در بازه ۳ سال گذشته
- MDD₃y: حداکثر Drawdown در همان بازه ۳ ساله (مقدار مطلق)

محاسبه عملی

فرض کنید یک استراتژی trend-following روی BTC/USDT:

| سال | بازده سالانه |
|-----|-------------|
| ۲۰۲۲ | −۳۵٪ |
| ۲۰۲۳ | +۸۰٪ |
| ۲۰۲۴ | +۶۵٪ |

محاسبه CAGR:
$$\text{CAGR} = \left[(1 - 0.35)(1 + 0.80)(1 + 0.65)\right]^{1/3} - 1$$
$$= \left[0.65 \times 1.80 \times 1.65\right]^{0.333} - 1$$
$$= [1.9305]^{0.333} - 1 \approx 0.245 = 24.5\%$$

حداکثر Drawdown در این بازه: فرض کنید از اوج تا کف در ۲۰۲۲ برابر −۴۸٪ بوده است.

$$\text{Calmar} = \frac{0.245}{0.48} \approx 0.51$$

تفسیر مقدار Calmar

| محدوده | ارزیابی |
|--------|--------|
| < 0.5 | ضعیف — ریسک Drawdown بالاتر از بازده است |
| 0.5 – 1.0 | قابل قبول |
| 1.0 – 2.0 | خوب — بازده با کنترل Drawdown همراه است |
| > 2.0 | عالی — سیستم با کارایی بالا Drawdown را مدیریت می‌کند |

---

۳. MAR Ratio: نسخه بلندمدت‌تر

MAR Ratio (Managed Account Ratio) از نظر فرمول مشابه Calmar است اما بازه زمانی آن به کل تاریخچه استراتژی اشاره دارد، نه ۳ سال:

$$\text{MAR} = \frac{\text{CAGR}_{\text{full history}}}{|\text{MDD}_{\text{full history}}|}$$

چرا MAR در کریپتو مهم‌تر است؟

بازار کریپتو چرخه‌های bull/bear چهار ساله (مرتبط با Bitcoin Halving) دارد. هر چرخه شامل یک Drawdown شدید است:

- ۲۰۱۸: BTC از ~۲۰k به ~۳.۲k → Drawdown: −۸۴٪
- ۲۰۲۲: BTC از ~۶۹k به ~۱۵.۵k → Drawdown: −۷۷٪

اگر فقط Calmar (۳ ساله) را بسنجید، ممکن است یک Drawdown تاریخی فاجعه‌بار را از دست بدهید. MAR با لحاظ کردن کل تاریخ، بدترین سناریوی دیده‌شده را در مخرج قرار می‌دهد.

مثال مقایسه‌ای

دو استراتژی را در نظر بگیرید:

استراتژی A (Momentum):
- CAGR (۵ ساله): ۶۵٪
- Max Drawdown (۳ ساله): ۳۵٪ → Calmar = 1.86
- Max Drawdown (۵ ساله): ۷۲٪ → MAR = 0.90

استراتژی B (Mean Reversion):
- CAGR (۵ ساله): ۴۰٪
- Max Drawdown (۳ ساله): ۲۸٪ → Calmar = 1.43
- Max Drawdown (۵ ساله): ۳۱٪ → MAR = 1.29

بر اساس Calmar، استراتژی A بهتر به نظر می‌رسد. اما MAR نشان می‌دهد که در یک چرخه کامل بازار، استراتژی B کارایی بهتری دارد چون Drawdown فاجعه‌بار ندارد. تصمیم صحیح با MAR ممکن می‌شود.

---

۴. مقایسه کمی: Calmar/MAR در برابر Sharpe

آزمون توزیع بازده

برای ارزیابی دقیق، Excess Kurtosis بازده‌های روزانه BTC را در نظر بگیرید:

$$\text{Kurt}_{\text{excess}} = \frac{E[(R - \mu)^4]}{\sigma^4} - 3$$

توزیع نرمال: Kurtosis اضافی = ۰
BTC (۲۰۱۹–۲۰۲۴): Kurtosis اضافی ≈ ۸ تا ۱۲

این یعنی رویدادهای دم (tail events) در کریپتو ۸ تا ۱۲ برابر بیشتر از پیش‌بینی مدل نرمال اتفاق می‌افتند. Sharpe این اطلاعات را نادیده می‌گیرد؛ Calmar و MAR با تمرکز بر Drawdown واقعی، همین tail eventها را مستقیماً اندازه‌گیری می‌کنند.

جدول مقایسه

| معیار | واحد اندازه‌گیری ریسک | فرض توزیع | حساسیت به Tail Risk | پوشش زمانی |
|-------|----------------------|-----------|--------------------|-----------|
| Sharpe | انحراف معیار | نرمال | پایین | دلخواه |
| Sortino | انحراف معیار نزولی | نیمه‌نرمال | متوسط | دلخواه |
| Calmar | Max Drawdown | بدون فرض | بالا | ۳ سال |
| MAR | Max Drawdown | بدون فرض | بسیار بالا | کل تاریخ |

---

۵. کاربردهای پیشرفته در سیستم‌های معاملاتی

بهینه‌سازی پرتفوی با MAR

در بهینه‌سازی Mean-Variance مارکویتز، تابع هدف کلاسیک است:
$$\max \frac{\mu_p - r_f}{\sigma_p}$$

جایگزین پیشنهادی برای کریپتو:
$$\max \frac{\text{CAGR}_p}{\text{MDD}_p}$$

این تغییر در عمل یعنی پرتفویی بسازید که در برابر کشش‌های شدید بازار مقاوم‌تر باشد، نه صرفاً پرتفویی با انحراف معیار پایین.

ترکیب با Kelly Criterion

اگر Kelly Criterion برای تعیین اندازه پوزیشن استفاده می‌کنید، MAR می‌تواند به عنوان فیلتر کیفی عمل کند:

- MAR < 0.5: سیستم را اصلاح کنید، نه سرمایه‌گذاری.
- 0.5 ≤ MAR < 1.0: Kelly کسری (fractional Kelly) با ضریب ۰.۳ تا ۰.۵.
- MAR ≥ 1.0: Kelly کسری با ضریب ۰.۵ تا ۰.۷ قابل استفاده است.

Calmar در Walk-Forward Analysis

در Walk-Forward Optimization، به جای بهینه‌سازی برای Sharpe در in-sample، Calmar را در out-of-sample رصد کنید:

• مدل را روی ۷۰٪ داده بهینه کنید.
• روی ۳۰٪ باقی‌مانده، Calmar out-of-sample را محاسبه کنید.
• اگر Calmar out-of-sample بیشتر از ۶۰٪ مقدار in-sample باشد، سیستم overfit نیست.
• اگر کمتر از ۵۰٪ باشد، overfit جدی وجود دارد.

---

۶. محدودیت‌ها و هشدارها

Calmar و MAR محدودیت‌های خود را دارند:

حساسیت به نقطه شروع: اگر استراتژی از یک نقطه اوج شروع کند، MDD پایین به نظر می‌رسد. همیشه بازه زمانی شامل حداقل یک دوره bear market باشد.

مقایسه بین دارایی‌ها: Calmar یک بازارساز با Calmar=2 در DeFi را با یک Calmar=2 در سهام یکسان نشان می‌دهد، اما ریسک نقدینگی و counterparty اساساً متفاوت است.

عدم پوشش تواتر Drawdown: دو سیستم ممکن است MDD یکسان داشته باشند اما یکی ماهی یک بار و دیگری هر ۳ سال یک بار به آن Drawdown برسد. Ulcer Index یا Average Drawdown مکمل خوبی برای این محدودیت است.

Overfitting بر اساس MAR: اگر استراتژی را مستقیماً برای ماکزیمم‌سازی MAR بهینه کنید، ریسک overfitting بر روی دوره‌های خاص bear market وجود دارد.

---

نتیجه‌گیری

Calmar Ratio و MAR Ratio ابزارهای کمی برتری برای ارزیابی سیستم‌های معاملاتی در کریپتو هستند چون:
- به جای انحراف معیار (که توزیع نرمال را فرض می‌کند)، از Drawdown واقعی استفاده می‌کنند.
- tail riskهای ذاتی کریپتو را مستقیماً در فرمول لحاظ می‌کنند.
- نوسان صعودی را «ریسک» نمی‌شمارند.
- تصویر روشن‌تری از توان بقای سیستم در چرخه‌های کامل بازار ارائه می‌دهند.

---

خلاصه نقطه‌ای

- Calmar = CAGR(3y) / |MDD(3y)|: معیار کوتاه‌مدت‌تر، مناسب برای مقایسه سریع استراتژی‌ها.
- MAR = CAGR(full) / |MDD(full)|: معیار بلندمدت، ضروری برای ارزیابی در چرخه‌های کامل کریپتو.
- Sharpe فرض نرمال دارد: در کریپتو با kurtosis اضافی ۸–۱۲، این فرض نادرست است.
- Calmar > 1.0: خط قرمز مناسب برای ورود جدی به یک استراتژی.
- MAR در walk-forward: اگر out-of-sample MAR کمتر از ۵۰٪ in-sample باشد، overfit جدی است.
- محدودیت کلیدی: MAR تواتر Drawdown را نشان نمی‌دهد؛ از Ulcer Index به عنوان مکمل استفاده کنید.
- ترکیب بهینه: MAR را با Sortino و Ulcer Index ترکیب کنید تا تصویر کامل‌تری از ریسک سیستم داشته باشید.