Sharpe و Sortino — معیار کیفیت بازده تعدیل‌شده با ریسک

هدف یادگیری

پس از مطالعه این درس قادر خواهید بود نسبت‌های Sharpe و Sortino را از داده‌های خام حساب کنید، تفاوت بنیادین آن‌ها را تشخیص دهید، و در ارزیابی کمّی استراتژی‌های معاملاتی از هر دو معیار به‌درستی استفاده کنید.

---

۱. چرا بازده خالص کافی نیست؟

یکی از رایج‌ترین اشتباهات در ارزیابی استراتژی‌های معاملاتی، مقایسه صرف بازده است. فرض کنید دو تریدر را بررسی می‌کنید:

- تریدر A: سود سالانه ۴۰٪، با نوسانات شدید — چند ماه ضرر ۲۰٪، چند ماه سود ۳۰٪
- تریدر B: سود سالانه ۲۸٪، با نوسانات آرام و روند صعودی یکنواخت

کدام عملکرد برتر است؟ پاسخ بستگی دارد به ریسکی که برای کسب آن بازده تحمل شده. بازده تعدیل‌شده با ریسک (Risk-Adjusted Return) ابزاری است که این مقایسه را عادلانه می‌کند و نسبت‌های Sharpe و Sortino دو معیار استاندارد صنعت مدیریت سرمایه برای این منظور هستند.

---

۲. نسبت Sharpe — فرمول و منطق ریاضی

ویلیام شارپ این نسبت را در ۱۹۶۶ معرفی کرد. سوال اصلی آن این است: به ازای هر واحد ریسک کلی که متحمل شدید، چقدر بازده مازاد بر نرخ بدون ریسک کسب کردید؟

فرمول

$$S = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p}$$

که در آن:
- $R_p$ = بازده متوسط پرتفولیو (در دوره موردنظر)
- $R_f$ = نرخ بدون ریسک (Risk-Free Rate) — معمولاً اوراق خزانه کوتاه‌مدت دولتی یا در کریپتو، بازده استیبل‌کوین در پروتکل‌های معتبر
- $\sigma_p$ = انحراف معیار بازده‌های دوره‌ای پرتفولیو

محاسبه عملی با اعداد واقعی

فرض کنید یک استراتژی اسپات بیت‌کوین داریم با داده‌های ماهانه طی ۱۲ ماه گذشته:

بازده‌های ماهانه (درصد):
+8.2, -3.1, +12.4, +5.6, -7.8, +3.2,
+9.1, -2.4, +6.3, +4.8, -1.2, +7.5

گام اول — محاسبه میانگین بازده ماهانه:

$$R_p = \frac{8.2 + (-3.1) + 12.4 + ... + 7.5}{12} = \frac{52.6}{12} = 4.38\%$$

گام دوم — فرض نرخ بدون ریسک:

اگر نرخ بدون ریسک سالانه را ۵٪ در نظر بگیریم، نرخ ماهانه برابر است با:
$$R_f = \frac{5\%}{12} = 0.417\%$$

گام سوم — محاسبه انحراف معیار بازده‌های ماهانه:

ابتدا واریانس را حساب می‌کنیم. با کم کردن میانگین (۴.۳۸) از هر مقدار و توان دو گرفتن:

(8.2-4.38)² = 14.59
(-3.1-4.38)² = 55.95
(12.4-4.38)² = 64.32
(5.6-4.38)² = 1.49
(-7.8-4.38)² = 148.39
(3.2-4.38)² = 1.39
(9.1-4.38)² = 22.28
(-2.4-4.38)² = 45.90
(6.3-4.38)² = 3.69
(4.8-4.38)² = 0.18
(-1.2-4.38)² = 31.18
(7.5-4.38)² = 9.73

مجموع = 399.09
واریانس = 399.09 / 11 = 36.28 (با N-1 برای نمونه)
انحراف معیار = √36.28 = 6.02%

گام چهارم — محاسبه نسبت Sharpe ماهانه:

$$S_{monthly} = \frac{4.38 - 0.417}{6.02} = \frac{3.963}{6.02} = 0.658$$

گام پنجم — سالانه‌سازی:

$$S_{annual} = S_{monthly} \times \sqrt{12} = 0.658 \times 3.464 = 2.28$$

تفسیر نسبت Sharpe

| نسبت Sharpe | تفسیر |
|---|---|
| زیر ۰ | استراتژی حتی از نرخ بدون ریسک هم بدتر است |
| ۰ تا ۱ | قابل قبول ولی نه جذاب |
| ۱ تا ۲ | خوب — اکثر صندوق‌های حرفه‌ای در این بازه |
| ۲ تا ۳ | عالی |
| بالای ۳ | استثنایی — بررسی دقیق برای overfitting ضروری است |

---

۳. نقص بنیادین Sharpe — چرا Sortino لازم شد؟

نسبت Sharpe یک فرض پنهان دارد: هم نوسانات رو به بالا و هم نوسانات رو به پایین را یکسان «ریسک» می‌شمارد. این یعنی استراتژی که ماه‌هایی با سود ۲۵٪ داشته، به‌خاطر همان نوسانات مثبت «ریسکی» شمرده می‌شود!

از منظر تریدر، ریسک واقعی فقط ضررهای غیرمنتظره (Downside Risk) است، نه سودهای بزرگ. Frank Sortino در دهه ۱۹۸۰ این نقص را حل کرد.

---

۴. نسبت Sortino — فرمول و محاسبه

فرمول

$$So = \frac{R_p - T}{\sigma_d}$$

که در آن:
- $T$ = نرخ هدف (Target Return یا MAR — Minimum Acceptable Return)
- $\sigma_d$ = Downside Deviation — انحراف معیار فقط بازده‌های زیر نرخ هدف

محاسبه Downside Deviation

$$\sigma_d = \sqrt{\frac{\sum_{i: R_i < T} (R_i - T)^2}{N}}$$

توجه: فقط مقادیری که زیر T هستند وارد محاسبه می‌شوند. مقادیر بالای T برابر صفر در نظر گرفته می‌شوند (نه حذف، بلکه صفر).

محاسبه عملی با همان داده‌ها

با همان ۱۲ بازده ماهانه قبلی، فرض کنیم $T = 0\%$ (هدف: حداقل ضرر نکنیم):

بازده‌های زیر صفر:
-3.1 → (−3.1 − 0)² = 9.61
-7.8 → (−7.8 − 0)² = 60.84
-2.4 → (−2.4 − 0)² = 5.76
-1.2 → (−1.2 − 0)² = 1.44

بقیه بازده‌ها (مثبت) → صفر

مجموع مجذورات = 9.61 + 60.84 + 5.76 + 1.44 = 77.65
تقسیم بر N کل (نه فقط موارد منفی): 77.65 / 12 = 6.47
Downside Deviation = √6.47 = 2.54%

محاسبه Sortino ماهانه:

$$So_{monthly} = \frac{4.38 - 0}{2.54} = \frac{4.38}{2.54} = 1.72$$

سالانه‌سازی:

$$So_{annual} = 1.72 \times \sqrt{12} = 1.72 \times 3.464 = 5.96$$

مقایسه دو نسبت

| معیار | مقدار ماهانه | مقدار سالانه‌شده |
|---|---|---|
| Sharpe | ۰.۶۵۸ | ۲.۲۸ |
| Sortino | ۱.۷۲ | ۵.۹۶ |

نسبت Sortino به‌طور قابل‌توجهی بالاتر است، چون نوسانات مثبت بزرگ (مثل +12.4 و +9.1) از محاسبه ریسک خارج شده‌اند. این یعنی این استراتژی کیفیت downside بسیار بهتری از آنچه Sharpe نشان می‌دهد دارد.

---

۵. انتخاب معیار مناسب در شرایط مختلف

کِی از Sharpe استفاده کنیم؟

- مقایسه استراتژی‌های متقارن مثل market-making یا آربیتراژ که توزیع بازدهشان نرمال است
- محیط‌های رگولاتوری که Sharpe معیار استاندارد گزارش‌دهی است
- وقتی سرمایه‌گذار از نوسانات صعودی هم ناراحت می‌شود (صندوق‌های بازنشستگی محافظه‌کار)

کِی از Sortino استفاده کنیم؟

- استراتژی‌هایی با توزیع چولگی مثبت (Positive Skew) — مثل momentum یا trend-following
- بازارهای کریپتو به دلیل pump های شدید که Sharpe را مصنوعاً پایین می‌آورد
- وقتی هدف اصلی حفاظت از سرمایه در برابر ضررهای بزرگ است، نه صرفاً کاهش نوسان
- استراتژی‌های آپشن که بازده asymmetric دارند

نکته quant: مشکل N در Downside Deviation

برخی پیاده‌سازی‌ها مجذورات را بر «تعداد بازده‌های زیر هدف» تقسیم می‌کنند، نه بر N کل. این دو رویکرد نتایج متفاوت می‌دهند و Sortino اصلی (Sortino & Price 1994) از N کل استفاده می‌کند. قبل از مقایسه، مطمئن شوید هر دو طرف از یک تعریف استفاده می‌کنند.

---

۶. دام‌های رایج و نکات حرفه‌ای

دام ۱ — Time Frame Dependency

نسبت‌های Sharpe و Sortino به دوره زمانی حساسند. یک استراتژی ممکن است Sharpe سالانه ۲.۵ داشته باشد ولی اگر دوره بازار گاوی انتخاب شده باشد، این عدد گمراه‌کننده است. همیشه حداقل ۳ سال داده شامل یک دوره نزولی را بررسی کنید.

دام ۲ — Lookback Bias

اگر استراتژی را بعد از دیدن داده‌ها optimize کرده‌اید و سپس همان داده‌ها را برای محاسبه Sharpe به‌کار ببرید، نتیجه overfitting است نه کیفیت واقعی. از Walk-Forward Analysis یا Out-of-Sample Testing استفاده کنید.

دام ۳ — نرخ بدون ریسک در کریپتو

در اکوسیستم کریپتو، نرخ بدون ریسک مشخصی وجود ندارد. گزینه‌های رایج:
- بازده USDC در Aave یا Compound (پروتکل‌های معتبر)
- نرخ فاندینگ خنثی در صرافی‌های آتی
- صفر — برای سادگی و محافظه‌کاری

انتخاب $R_f = 0$ محاسبات را ساده‌تر و نتایج را محافظه‌کارانه‌تر می‌کند.

دام ۴ — Sharpe بالا در High-Frequency

استراتژی‌های HFT با هزاران معامله در روز تقریباً همیشه Sharpe سالانه بالای ۵ دارند، چون با رشد N، انحراف معیار روزانه کاهش می‌یابد. این Sharpe با یک صندوق سهام قابل مقایسه نیست.

---

نتیجه‌گیری

نسبت‌های Sharpe و Sortino دو لنز مکمل برای سنجش کیفیت یک استراتژی معاملاتی هستند. Sharpe ریسک کلی را می‌سنجد و مقایسه‌پذیری گسترده دارد؛ Sortino فقط ریسک نامطلوب را حساب می‌کند و برای استراتژی‌های asymmetric و بازار کریپتو دقیق‌تر است.

یک تریدر حرفه‌ای هرگز به یک عدد اکتفا نمی‌کند — همیشه هر دو را در کنار Maximum Drawdown و Calmar Ratio بررسی می‌کند تا تصویر کاملی از ریسک-بازده داشته باشد.

---

خلاصه نقطه‌ای

- Sharpe = (بازده مازاد) ÷ (انحراف معیار کل) — هر دو جهت نوسان را ریسک می‌شمارد
- Sortino = (بازده مازاد از هدف) ÷ (Downside Deviation) — فقط نوسانات منفی را ریسک می‌شمارد
- سالانه‌سازی: ضرب در $\sqrt{N}$ که N تعداد دوره در سال است (۱۲ برای ماهانه، ۲۵۲ برای روزانه)
- Sortino معمولاً از Sharpe بزرگتر است؛ اگر برابر بودند، استراتژی downside و upside متقارن دارد
- Sharpe بالای ۲ سالانه در بازارهای سنتی عالی است؛ در کریپتو به دلیل نوسانات بالا، Sharpe بالای ۱.۵ قابل توجه است
- همیشه نرخ بدون ریسک و دوره زمانی را هنگام مقایسه دو استراتژی یکسان کنید
- Overfitting تهدید اصلی Sharpe بالا است — Out-of-Sample testing اجباری است