استراتژی‌های Volatility: Vol Surface و Skew

---

هدف یادگیری

پس از مطالعه این درس، قادر خواهید بود:

- مفهوم سطح نوسان‌پذیری (Volatility Surface) را به‌صورت کمّی تعریف کنید
- Implied Volatility Skew را محاسبه و تفسیر کنید
- از ساختار Skew برای شناسایی موقعیت‌های معاملاتی آپشن استفاده کنید
- مدل‌های SVI و SABR را در سطح مفهومی و فرمولی درک کنید
- رفتار Skew بازار کریپتو را با بازارهای سنتی مقایسه کنید

---

۱. Implied Volatility و مشکل Black-Scholes

مدل Black-Scholes فرض می‌کند که نوسان‌پذیری یک دارایی در طول زمان و در تمام قیمت‌های اعمال (Strike) ثابت است. اما بازارهای واقعی این فرض را نقض می‌کنند.

اگر IV (Implied Volatility) را برای آپشن‌های مختلف روی یک دارایی در یک تاریخ انقضاء استخراج کنیم:

Strike: $55,000 $60,000 $65,000 $70,000 $75,000
IV: 45.2% 39.8% 35.1% 38.4% 42.7%

می‌بینیم که IV در هر Strike متفاوت است. این پدیده به نام IV Smile یا IV Smirk شناخته می‌شود. اگر IV در سمت چپ (Put‌های دور از پول) بالاتر از سمت راست باشد، می‌گوییم Negative Skew داریم.

Skew اساساً قیمت‌گذاری بازار برای ریسک‌های نامتقارن است. در بازار سهام، سرمایه‌گذاران بیشتر نگران سقوط ناگهانی هستند؛ بنابراین Put‌های OTM گران‌تر از Call‌های OTM هستند.

---

۲. Volatility Surface: تعریف و ساختار ریاضی

Volatility Surface یک تابع دو‌متغیره است:

$$\sigma_{imp} = f(K, T)$$

که در آن:
- $K$ = Strike Price (یا معادلاً $m = K/F$ که Moneyness نام دارد)
- $T$ = زمان تا انقضاء (Time to Expiry)
- $\sigma_{imp}$ = Implied Volatility استخراج‌شده از قیمت بازار

برای نمایش بهتر، معمولاً از Log-Moneyness استفاده می‌شود:

$$x = \ln(K/F)$$

که $F$ قیمت فوروارد دارایی است.

ساختار محور زمانی (Term Structure)

علاوه بر بُعد Strike، Vol Surface در بُعد زمانی نیز تغییر می‌کند. برای مثال در بیت‌کوین:

انقضاء: ۱ هفته ۱ ماه ۳ ماه ۶ ماه
ATM IV: 62% 54% 48% 44%

این کاهش IV با افزایش Time to Expiry را Backwardation در Vol Term Structure می‌نامند و نشان‌دهنده انتظار بازار برای کاهش نوسانات در بلندمدت است. حالت معکوس (IV بالاتر در سررسیدهای دورتر) Contango نام دارد.

---

۳. اندازه‌گیری Skew: فرمول‌ها و متریک‌ها

۳.۱ Risk Reversal (RR)

متداول‌ترین متریک برای Skew، Risk Reversal است:

$$RR_{\Delta} = \sigma_{call}^{+\Delta} - \sigma_{put}^{-\Delta}$$

مثال: برای آپشن‌های ۲۵-Delta روی BTC با انقضاء یک‌ماهه:

IV برای 25-Delta Call: +52.3%
IV برای 25-Delta Put: +61.8%

RR_25 = 52.3% - 61.8% = -9.5%

مقدار منفی $RR_{25}$ نشان می‌دهد بازار Put‌های OTM را گران‌تر از Call‌های OTM قیمت می‌گذارد — یعنی Negative Skew یا Left Skew داریم.

۳.۲ Butterfly (BF)

Butterfly نشان‌دهنده کرتوسیس (دُم‌های توزیع) است:

$$BF_{\Delta} = \frac{\sigma_{call}^{+\Delta} + \sigma_{put}^{-\Delta}}{2} - \sigma_{ATM}$$

مثال:

IV برای 25D Call: 52.3%
IV برای 25D Put: 61.8%
ATM IV: 54.1%

BF_25 = (52.3 + 61.8)/2 - 54.1 = 57.05 - 54.1 = +2.95%

BF مثبت نشان می‌دهد که توزیع بازدهی دارای «دُم‌های چاق» (Fat Tails) است — احتمال حرکت‌های شدید بیشتر از توزیع نرمال است.

۳.۳ Slope و Curvature

برای تحلیل دقیق‌تر، Vol Smile را می‌توان به‌صورت چندجمله‌ای بیان کرد:

$$\sigma(x) = \sigma_{ATM} + \alpha x + \beta x^2 + ...$$

که:
- $\alpha$ = Slope (معادل Skew)
- $\beta$ = Curvature (معادل Butterfly)

---

۴. مدل‌های پارامتریک برای Vol Surface

۴.۱ مدل SVI (Stochastic Volatility Inspired)

مدل SVI که توسط Jim Gatheral معرفی شده، یکی از پرکاربردترین مدل‌ها برای پارامتری‌کردن Vol Smile است:

$$w(x) = a + b\left[\rho(x - m) + \sqrt{(x-m)^2 + \sigma^2}\right]$$

که:
- $w(x) = \sigma_{imp}^2 \cdot T$ = Total Implied Variance
- $x = \ln(K/F)$ = Log-Moneyness
- پارامترهای مدل: $\{a, b, \rho, m, \sigma\}$

تفسیر پارامترها:

| پارامتر | معنی |
|---------|------|
| $a$ | سطح کلی variance |
| $b$ | عرض Smile |
| $\rho$ | چرخش (Skew) |
| $m$ | موقعیت مینیمم Smile |
| $\sigma$ | نرمی (Smoothness) رأس |

۴.۲ مدل SABR

مدل SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) یک مدل نوسان‌پذیری تصادفی است:

$$dF = \alpha F^\beta \, dW_1$$
$$d\alpha = \nu \alpha \, dW_2$$
$$\langle dW_1, dW_2 \rangle = \rho \, dt$$

فرمول تقریبی Hagan برای IV در SABR:

$$\sigma_{imp}(K,F) \approx \frac{\alpha}{(FK)^{(1-\beta)/2}} \cdot \left[1 + \left(\frac{(1-\beta)^2}{24}\frac{\alpha^2}{(FK)^{1-\beta}} + \frac{\rho\beta\nu\alpha}{4(FK)^{(1-\beta)/2}} + \frac{2-3\rho^2}{24}\nu^2\right)T\right]$$

پارامتر $\rho$ (همبستگی بین قیمت و نوسان) مستقیماً Skew را کنترل می‌کند:
- $\rho < 0$: Left Skew (رایج در سهام)
- $\rho > 0$: Right Skew (رایج در کامودیتی‌ها)

---

۵. استراتژی‌های معاملاتی مبتنی بر Skew

۵.۱ Risk Reversal Trade

اگر تحلیل شما نشان دهد که $RR_{25}$ بیش از حد منفی است (Put‌ها نسبت به Call‌ها بیش‌ازحد گران هستند):

استراتژی: خرید $RR$ → خرید ۲۵D Call + فروش ۲۵D Put

مثال عملی:

BTC @ $62,000 | انقضاء: ۳۰ روز

۲۵D Call Strike: ~$68,200 | IV: 51%
۲۵D Put Strike: ~$56,400 | IV: 64%

RR = 51% - 64% = -13% [بیش‌ازحد منفی]

معامله:
- خرید ۱ BTC Call @ $68,200 | پریمیوم: $820
- فروش ۱ BTC Put @ $56,400 | پریمیوم: $1,240

Net Credit: +$420
Breakeven بالایی: ~$68,620
Breakeven پایینی: ~$56,820

این معامله سود می‌کند اگر Skew به سمت صفر نرمالیزه شود یا قیمت بیت‌کوین صعود کند.

۵.۲ Skew-Adjusted Delta Hedging

در حضور Skew، Delta استاندارد Black-Scholes کافی نیست. Sticky Strike Delta و Sticky Delta دو رویکرد مختلف هستند:

$$\Delta_{sticky\_strike} = \frac{\partial C}{\partial S}\bigg|_{\sigma=const}$$

$$\Delta_{sticky\_delta} = \frac{\partial C}{\partial S}\bigg|_{\Delta=const} = \Delta_{BS} - \frac{\partial C}{\partial \sigma} \cdot \frac{\partial \sigma}{\partial S}$$

جمله دوم یعنی Skew-Adjusted Delta. اگر Skew منفی داشته باشیم ($\frac{\partial \sigma}{\partial K} < 0$)، با کاهش قیمت، IV افزایش می‌یابد و Delta واقعی بزرگ‌تر از Delta ساده Black-Scholes است.

۵.۳ Vol Surface Arbitrage

یک Vol Surface باید شرایط No-Arbitrage را برآورده کند:

• Static Arbitrage: برای هر $T$ ثابت، $w(x)$ باید یکنوا نباشد و convex باشد
• Calendar Spread Arbitrage: برای $K$ ثابت، $w(x, T_2) \geq w(x, T_1)$ وقتی $T_2 > T_1$
• Butterfly Arbitrage: $\frac{\partial^2 C}{\partial K^2} \geq 0$

اگر این شرایط نقض شوند، آربیتراژ وجود دارد.

---

۶. رفتار Skew در بازار کریپتو

بازار کریپتو رفتار منحصربه‌فردی در Skew دارد که با بازارهای سنتی متفاوت است:

Bull Market Skew (Positive Skew)

در دوره‌های صعودی، Call‌های OTM گران‌تر از Put‌های OTM می‌شوند:

نمونه: BTC در ژانویه ۲۰۲۱
RR_25 ≈ +8% تا +15%

دلیل: FOMO (ترس از جا ماندن) باعث می‌شود سرمایه‌گذاران Call‌های OTM بخرند.

Bear Market Skew (Negative Skew)

در دوره‌های نزولی، $RR$ به سرعت به منفی می‌رود:

نمونه: مه ۲۰۲۲ (سقوط Terra/Luna)
RR_25 ≈ -20% تا -35%

Kink در Vol Surface

یکی از ویژگی‌های منحصربه‌فرد کریپتو، وجود Kink (شکستگی) در Vol Surface در Strikeهای مربوط به سطوح حمایت کلیدی یا قیمت‌های لیکوییدیشن است.

Perpetual Funding Rate و IV

یک رابطه تجربی مهم:

$$\text{Implied Funding Rate} \approx \frac{\sigma_{call}^{ATM+10\%} - \sigma_{put}^{ATM-10\%}}{2 \cdot \sqrt{T}}$$

وقتی funding rate در پرپچوال‌ها مثبت و بالاست، Skew تمایل به مثبت شدن دارد — بازار به هم‌جهتی Skew و Funding توجه می‌کند.

---

۷. ابزارهای عملی و پلتفرم‌ها

برای تحلیل Vol Surface و Skew در کریپتو:

- Deribit: بزرگ‌ترین صرافی آپشن‌های کریپتو؛ داده‌های IV برای BTC و ETH
- Amberdata / Kaiko: داده‌های تاریخی Vol Surface
- volmex.finance: شاخص‌های نوسان‌پذیری on-chain

محاسبه IV از قیمت‌های بازار معمولاً با Newton-Raphson انجام می‌شود:

$$\sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{C_{BS}(\sigma_n) - C_{market}}{\text{Vega}(\sigma_n)}$$

تا زمانی که $|C_{BS}(\sigma_n) - C_{market}| < \epsilon$.

---

نتیجه‌گیری

Vol Surface و Skew ابزارهایی هستند که نگاه بازار به توزیع احتمال آینده قیمت دارایی را آشکار می‌کنند. یک تریدر حرفه‌ای آپشن نه‌تنها قیمت مطلق آپشن‌ها، بلکه شکل Vol Surface را می‌خواند تا بفهمد بازار کجا ریسک می‌بیند و کجا بیش‌ازحد قیمت‌گذاری شده است.

---

خلاصه نقطه‌ای

- Vol Surface تابعی دو‌متغیره از Strike و Time to Expiry است که IV واقعی بازار را نشان می‌دهد
- Skew نشان‌دهنده عدم تقارن در قیمت‌گذاری Put و Call است و با Risk Reversal اندازه‌گیری می‌شود
- Butterfly کرتوسیس توزیع بازدهی را می‌سنجد و نشان‌دهنده Fat Tail بودن توزیع است
- مدل SVI با ۵ پارامتر و مدل SABR با ۴ پارامتر، Vol Smile را پارامتری می‌کنند
- در کریپتو برخلاف سهام، Skew می‌تواند هم منفی (Bear Market) و هم مثبت (Bull Market / FOMO) باشد
- Skew-Adjusted Delta برای Hedge واقعی‌تر از Delta ساده ضروری است
- Vol Surface باید شرایط No-Arbitrage را برآورده کند؛ نقض این شرایط فرصت آربیتراژ ایجاد می‌کند
- رابطه بین Funding Rate پرپچوال و Skew یک سیگنال ترکیبی ارزشمند در کریپتو است